यदि int {x^5 e^{-x^2} dx} = g(x) e^{-x^2} + c | vedclass

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Question

(C) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.हम समाकलन को $\int x^4 \cdot e^{-x^2} \cdot x dx = \int t^2 \cdot e^{-t} \cdo

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{5}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.हम समाकलन को $\int x^4 \cdot e^{-x^2} \cdot x dx = \int t^2 \cdot e^{-t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt$ के रूप में लिख सकते हैं।खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = t^2$ और $dv = e^{-t} dt$ लेने पर,$du = 2t dt$ और $v = -e^{-t}$ प्राप्त होता है।$\frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} - \int (-e^{-t}) 2t dt ] = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2 \int t e^{-t} dt ]$.पुनः $\int t e^{-t} dt$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर,$u = t$ और $dv = e^{-t} dt$ लेने पर:$\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t}) dt = -t e^{-t} - e^{-t}$.मान वापस रखने पर: $\frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2(-t e^{-t} - e^{-t}) ] = (-\frac{1}{2} t^2 - t - 1) e^{-t} + c$.$t = x^2$ रखने पर: $g(x) = -\frac{x^4}{2} - x^2 - 1$.अतः,$g(-1) = -\frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 - 1 = -\frac{1}{2} - 1 - 1 = -\frac{5}{2}$.

यदि $\int {x^5 e^{-x^2} dx} = g(x) e^{-x^2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $g(-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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